Các dạng toán nâng cao lớp 7 có đáp án mới nhất năm 2025

Các dạng toán nâng cao lớp 7 có đáp án mới nhất được tổng hợp dưới đây giới thiệu đến các bạn học sinh yêu quý có đam mê với môn toán thuộc chương trình đào tạo nâng cao, cụ thể:

1. Dạng 1: Tìm tổng của dãy số mà các số hạng cách đều

Bài 1: Tính B = 1 + 2 + 3 +…+ 98 + 99

Hướng dẫn giải

Cách giải 1:

B = 1 + 2 + 3 +…+ 98 + 99

 = 1 + (2 + 3 + 4 +…+98 + 99

Số số hạng trong ngoặc = (99 – 2) : 1 + 1 = 98 (số hạng), nếu chia thành các cặp, ta có 49 cặp nên tổng đó là:

(2+99) +(3+98) +…+(50+51) = 49.101= 4949

Khi đó B = 1 + 4949 = 4950

Cách giải 2:

 B = 1 + 2 + 3 +….+97 + 98 + 99

+ B = 99 + 98 + 97 +…+ 3 + 2 + 1

2B = 100 + 100 + ….+100

=> 2B = 100.99 => B = 50.99 = 4950

Cách giải 3:

Số số hạng trong dãy = (99 – 1) : 1 +1 = 99 (số hạng)

Trong đó:

• 99 là số hạng cuối
• 1 là số hạng đầu
• 1 là đơn vị khoảng cách giữa các số hạng trong dãy

Tổng các số hạng trong dãy = (99 + 1) . 99 : 2 = 4950

Trong đó:

• 99 là số hạng cuối
• 1 là số hạng đầu
• 99 là số số hạng trong dãy

Ta có công thức tổng quát tính tổng số hạng trong dãy như sau:

Bước 1: Tìm số số hạng trong dãy = (số hạng cuối – số hạng đầu) : đơn vị khoảng cách + 1

Bước 2: Tổng số hạng trong dãy = (Số hạng cuối + số hạng đầu) . Số số hạng trong dãy : 2

Các bài tập tương tự

Bài 2: Tính A = 1 + 3 + 5 +..+ 997 + 999

Đáp án: 250000

Bài 3: Tính C = 2 + 4 + 6 +…+ 96 + 98.

Đáp số: 2450

Bài 4: Tính D = 10 + 12 + … 994 + 996 + 998

Đáp số: 249480

>> Xem thêm: Định lý Pytago là gì? Công thức và bài tập áp dụng Toán lớp 7

2. Dạng 2: Tìm tổng của dãy số mà các số hạng không cách đều

Bài 1: Tính A = 1.2 + 2.3 + 3.4 +…+n. (n+1)

Hướng dẫn giải

Cách giải 1:

Ta thấy rằng mỗi số hạng trong dãu số trên đều là tích của hai số tự nhiên liên tiếp, khi đó:

Gọi a1 = 1.2 → 3a1 = 1.2.3 → 3a1 = 1.2.3 – 0.1.2

Tương tự:

a2 = 2.3 → 3a2 = 2.3.3 → 3a2 = 2.3.4 – 1.2.3

a3 = 3.4 → 3a3 = 3.3.4 → 3a3 = 3.4.5 – 2.3.4

…

a(n – 1) = (n – 1).n → 3a(n – 1) = 3(n – 1)n → 3a(n – 1) = (n – 1).n.(n + 1) – (n – 2).(n – 1).n

an = n.(n – 1) → 3an = 3n(n + 1) → 3an = n(n + 1)(n + 2) – (n – 1)n(n + 1)

Cộng vế với vế của các đẳng thức trên ta được:

3(a1 + a2 + a3 +…+ an) = n(n + 1)(n + 2)

Cách giải 2:

Ta có:

3A = 1.2.3 + 2.3.3 + … + n(n + 1).3

3A = 1.2.(3 – 0) + 2.3.(3 – 1) + … + n(n + 1)[(n – 2) – (n – 1)]

3A = 1.2.3 – 1.2.0 + 2.3.3 – 1.2.3 + …+ n(n + 1)(n + 2) – (n -1)n(n + 1)

3A = n(n + 1)(n + 2)

Từ cách giải trên, rút ra công thức tổng quát cho dạng bài tính tổng của dãy số mà các số hạng không cách đều:

k(k + 1)( k + 2) – (k -1)k(k + 1) = 3k(k + 1). Trong đó k = 1; 2; 3;…

Các bài tập tương tự

Bài 2: Tính B = 1.2.3 + 2.3.4 + … + (n – 1)n(n + 1)

Đáp án:

Bài 3: Tính C = 1.4 + 2.5 + 3.6 + …+ n(n + 3)

Đáp án:

Bài 4: Tính D = 12 + 22 + 32 + … + n2

Đáp án:

>> Xem thêm: Hệ số là gì? Ý nghĩa của hệ số? Tìm hiểu về hệ số trong Toán lớp 7?

3. Dạng 3: Toán hình

Bài 1: Cho tam giác ABC nhọn. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD và ACE. Gọi M là giao điểm của BE và CD. Chứng minh rằng:

a. Tam giác ABE bằng tam giác ADC

b. Góc BMC bằng 120°

Bài 2: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH. Ở miền ngoài của tam giác ABC vẽ các tam giác vuông cân ABE và tam giác ACF đều nhận A làm đỉnh góc vuông. Kẻ EM, FN cùng vuông góc với AH (M, N thuộc AH).

a. Chứng minh rằng: EM + HC = NH

b. Chứng minh rằng: EN // FM

Bài 3: Cho cạnh hình vuông ABCD có độ dài là 1. Trên các cạnh AB, AD lấy các điểm P,Q sao cho chhu vi của DAPQ = 2. Chứng minh rằng: góc PCQ = 45°

Bài 4: Cho tam giác vuông ABC có cạnh AB = AC, tia phân giác của các góc B và C cắt AC và AB lần lượt tại E và D.

a. Chứng minh rằng: BE = CD; AD = AE

b. Gọi I là giao điểm của BE và CD. AI cắt BC tại M, chứng minh rằng MAC là tam giác vuông cân.

c. Từ A và D vẽ các đường thẳng vuông góc với BE, các đường này cắt BC lần lượt ở K và H. Chứng minh rằng KH = KC

Bài 5: Cho đoạn thẳng MN = 4 cm, điểm O nằm giữa hai điểm M và N. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ MN vẽ tam giác cân đỉnh ) là OMA và OMB sao cho góc ở đỉnh O bằng 45°. Tìm vị trí của O để AB min. Tính độ dài nhỏ nhất đó.

Bài 6: Cho tam giác ABC. qua A vẽ đường thăng xy // BC. Tiwf điểm M trên cạnh BC vẽ các đường thẳng song song với AB, Ac chúng cắt xy theo thứ tự tại D và E. Chứng minh rằng:

a. Tam giác ABC = tam giác MDE

b. Ba đường thẳng AM, BD, CE cùng đi qua một điểm.

Bài 7: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB, AC lần lượt tại M, N. Chứng kinh rằng:

a. DM = EN

b. Đường thẳng BC cắt MN tại trung điểm của I của đoạn MN

c. Đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên cạnh BC.

Bài 8: Cho tam giác ABC có góc B và góc C là góc nhọn. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E sao cho AE = AC.

a. Chứng minh rằng: BE = CD

b. Gọi M là trung điểm của BE, N là trung điểm của CB. Chứng minh rằng M, A, N thẳng hàng.

c. Ax là tia bất kỳ nằm giữa hai tia AB và AC. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B, C trên tia Ax. chứng minh rằng BH + CK nhỏ hơn hoặc bằng BC.

Bài 9: Cho tam giác ABC, dựng tam giác đều MAB, NBC, PAC thuộc miền ngoài của tam giác ABC. Chứng minh rằng MC = NA = PB và góc tạo bởi hai đường thẳng ấy bằng 60°, ba đường thẳng MC, NA, PB đồng quy.

Bài 10: Cho tam giác nhọn ABC. Các đường cao AH, BK. CL cắt nhau tại I. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm của IA, IB, IC. Chứng minh rằng PD, QE, RF đồng quy. Gọi J là điểm đồng quy, chứng minh I là trung điểm của mỗi đường.

Bài 11: Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc cạnh CD. Tia phân giác của góc ABE cắt AD tại K. chứng minh AK + CE = BE.

>> Xem thêm: Đề cương ôn tập học kì 2 môn Toán lớp 7 mới nhất năm 2023 – 2024

4. Một số dạng bài tập nâng cao khác

Bài 1: Cho a là số gồm 2n chữ số 1, b là số gồm n +1 chữ số 1, c là số gồm n chữ số 6. Chứng minh rằng a + b + c + 8 là số chính phương.

Bài 2: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên a, tồn tại số tự nhiên b sao cho ab + 4 là số chính phương.

bài 3: Cho hai số tự nhiên a và b (với điều kiện a

Bài 4: Tìm n biết rằng n3 – n2 + 2n + 7 chia hết cho n2 + 1.

Bài 5: Tìm số tự nhiên n để 1n + 2n + 3n + 4n chia hết cho 5

Công ty Trường Tiểu Học Xuyên Mộc rất mong được cung cấp cho quý khách hàng những thông tin hữu ích. Xin trân trọng cảm ơn sự hợp tác của quý khách hàng.